Esquemas

458 Pages·2009·2.56 MB·Spanish

Carlos Ivorra Castillo
ESQUEMAS

Hubo un tiempo en el que todas las partes de
la materia estaban dispersas, cuando el álgebra, la
geometríay laaritmética,o bienvivíanseparadas,o
manteníanrelacionesfrías,reducidasallamadasoca-
sionalesdeunaaotra;peroesoseestáacabando;las
tres se están acercando y aparecen constantemente
conectadas e íntimamente relacionadas por miles de
fuertes lazos, y podemos esperar con confianza en
que llegaráun tiempo enel que no formaránsino un
solo cuerpo con una sola alma.
J.J. Sylvester

Índice General
Introducción ix
Capítulo I: La geometría clásica 1
1.1 Conjuntos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 El espectro homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Propiedades de los conjuntos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Conjuntos cuasiproyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Capítulo II: Esquemas 19
2.1 Espectros afines y proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Subesquemas abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Inmersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Conjuntos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Capítulo III: Conceptos básicos sobre esquemas 53
3.1 Algunas propiedades globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 La dimensión de un conjunto algebraico . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 El polinomio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Producto de esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6 Puntos racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Capítulo IV: Algunas clases de esquemas y homomorfismos 105
4.1 Homomorfismos de tipo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Homomorfismos separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Homomorfismos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4 Homomorfismos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Homomorfismos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6 Homomorfismos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Capítulo V: Haces coherentes 149
5.1 Haces cuasicoherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2 Haces coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3 Homomorfismos en espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . 165
5.4 Haces amplios y muy amplios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5 Complementos sobre esquemas proyectivos . . . . . . . . . . . . . 191
v
vi ÍNDICE GENERAL
Capítulo VI: Cohomología 195
6.1 La cohomología de Čech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.2 Esquemas afines noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.3 La cohomología de los espacios proyectivos. . . . . . . . . . . . . 209
6.4 El polinomio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.5 Imágenes directas superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.6 El teorema de finitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Capítulo VII: Regularidad 243
7.1 Esquemas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.2 Esquemas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.3 Diferenciales de Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.4 Haces de formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.5 Homomorfismos suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.6 Inmersiones regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.7 Intersecciones completas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Capítulo VIII: Divisores 293
8.1 Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2 Divisores de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
8.3 Divisores de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.4 Imágenes inversas de divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.5 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Capítulo IX: Dualidad 335
9.1 Preliminares de álgebra homológica . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.2 Haces dualizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.3 El haz canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.4 Complejos de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.5 El género geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
9.6 Un teorema de conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Capítulo X: Curvas algebraicas 373
10.1 Hechos básicos sobre curvas algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 373
10.2 El grado y la dimensión de un divisor . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.3 El teorema de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.4 Curvas elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Capítulo XI: El teorema de Weil 395
11.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
11.2 Haces inversibles en productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
11.3 Variedades abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
ÍNDICE GENERAL vii
Apéndice A: Los teoremas de Zariski 417
A.1 Homomorfismos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
A.2 El teorema de las funciones formales . . . . . . . . . . . . . . . . 420
A.3 El teorema de conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
A.4 Homomorfismos llanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Bibliografía 441
Índice de Materias 442

Introducción
Si S es una superficie de Riemann compacta y conexa de género g 1, el
teorema de Abel-Jacobi afirma que su grupo de clases de grado 0, Pic0≥(S), es
isomorfo a un toro complejo J de dimensión g, que es un grupo de Lie com-
pacto y conexo,al que se le llama variedad jacobiana1 de S. Más aún, J es una
variedad algebraica, en el sentido de que es conformemente equivalente a una
variedad algebraica proyectiva, es decir, a un subconjunto de un espacio pro-
yectivo Pn(C) definido por un sistema de ecuaciones polinómicas homogéneas.
(Esto nolocumplentodos lostoroscomplejos,perosílosque puedenobtenerse
como variedad jacobiana de una superficie de Riemann.)
En 1940, André Weil anunció que tenía una demostración de la hipótesis
de Riemann para curvas algebraicas definidas sobre cuerpos finitos,2 bajo el
supuesto de que el teorema de Abel-Jacobi fuera generalizable a curvas alge-
braicasproyectivasregularesdefinidassobreuncuerpoarbitrario. (Observemos
que una superficie de Riemann es lo mismo3 que una curva proyectiva regular
sobre C.)
Novamosadaraquíunenunciadoprecisodelageneralizaciónnecesaria,pero
en esencia consiste asociar a cada curva proyectiva regular C/k una variedad
proyectiva regular J (su variedad jacobiana), definida también sobre k, que
C
sea una variedad abeliana, es decir,que tenga una estructurade grupo abeliano
definida mediante aplicaciones regulares +: J J J y : J J ,
C C C C C
y de modo que, con esta estructura de grupo, se×a isom−o→rfa al gr−upo Pic−0→(C).
Esta generalización del teorema de Abel-Jacobi no es trivial en absoluto,
pero hay que tener en cuenta que Weil se encontraba entonces en una prisión
militar a causa de “un différend avec les autorités françaises au sujet de mes
obligations militaires”. Segúnélmismoexplicó: “En d’autres circonstances, une
publication m’aurait paru bien prématurée. Mais, en avril 1940, pouvait-on se
croire assuré du lendemain?”
El caso era que Weil “casi” sabía como construir la variedad jacobiana de
una curva, y el “casi” lo concretó en la década siguiente: en 1944 terminó sus
Foundations of Algebraic Geometry (publicadas en 1946), en las que introdujo
1Cf.[VCA.29,A.30],[GA8.8,8.9,8.19].
2Cf.[GA,sección7.4].
3Cf.[GA5.60].
ix
x Introducción
un concepto abstracto de variedad algebraica, respecto al cual las variedades
proyectivas y cuasiproyectivas son como las subvariedades diferenciales de Rn
a las variedades diferenciales abstractas; mientras que en 1948 completó sus li-
bros “Sur les Courbes algébriques et les Varietés qui s’en déduisent” y “Varietés
Abeliennes et Courbes Algébriques”, enlosqueconstruyólasvariedadesjacobia-
nas como variedades abstractas, no necesariamente proyectivas, y demostró la
hipótesis de Riemann de acuerdo con su idea original.4
LasvariedadesjacobianasconstruidasporWeilsonvariedadesabelianasabs-
tractas, es decir, variedades (abstractas) dotadas de una estructura de grupo
definida mediante homomorfismos entre variedades (el análogo algebraico a un
grupo de Lie) y que además son completas, que es el análogo abstracto a la
compacidad en el caso de variedades complejas. Sin embargo, Weil no pudo
demostrarquelasvariedadesjacobianaspudieransumergirseenunespaciopro-
yectivo. (Mientras toda variedad diferencial (real) abstracta es difeomorfa a
unasubvariedaddeRn,paraunnsuficientementegrande,noesciertoquetoda
variedad algebraica abstracta pueda sumergirse en un espacio proyectivo. Ni
siquiera es cierto para variedades completas.)
En 1953, Barsoti y Matsusaka demostraron independientemente que toda
variedad abeliana es proyectiva, y Weil encontró otra demostración en 1957.
Mientras tanto, Oskar Zariski estaba obteniendo profundos resultados en
geometría algebraica mediante técnicas completamente distintas a las de Weil:
lastécnicasdelálgebraconmutativa. Planeabaescribirsuspropiosfundamentos
de la geometría algebraica,pero sólollegó a publicar dos volúmenes de Álgebra
conmutativa en colaboración con P. Samuel (1958 y 1960). Ello se debió a que
fue Alexander Grothendieckquienencontróla formamás adecuadade conectar
la geometría algebraica con el álgebra conmutativa, a través de la teoría de
esquemas. Entre1960y1967fuepublicando,encolaboraciónconJ.Dieudonné,
sus Éléments de Géométrie Algébrique, que en un principio debía constar de
trece partes, aunque al final sólo se publicaron cuatro (en ocho entregas) y hay
un borrador de la quinta.
Se produjo así una situación muy desagradable: ahora existían dos funda-
mentaciones distintas de la geometría algebraica: la de Weil y la de Grothen-
dieck, que constituían dos lenguajes distintos, por no decir incompatibles entre
sí, en el sentido de que traducir, no ya una prueba, sino simplemente un enun-
ciado, de uno al otro no era trivial en absoluto. En sí mismos, ambos son dos
obrasmonumentales del pensamiento humano,pero, comparativamente,la teo-
ría de Grothendieck es muy superior a la de Weil, puesto que permite reducir
fácilmentemuchosproblemasgeométricosamerosproblemasdeálgebraconmu-
tativa,quepuedeentenderyabordarunalgebristaaunquenoestéfamiliarizado
conlageometría. LateoríadeWeil,encambio,resultaesotéricaparacualquiera
quenoestémuyfamiliarizadoconella,yrequieresuspropiosmétodos,demodo
que no es fácil aprovechar con ella las posibilidades del álgebra conmutativa.
4Posteriormente, Stepanov, Schmidt y Bombieri encontraron una demostración más ele-
mental en laque nointervienen las variedades jacobianas, quees en esencialademostración
queaparece en[GA].